Quando se estuda matrizes no ensino médio, dá-se um enfoque em
preparar o aluno para entender o cálculo dos respectivos determinantes.
Entendendo bem os deteminantes o aluno passa a ter condições de resolver
sistemas lineares com maior facilidade, embora nem sempre fique claro
que está se usando uma forma matricial no sistema linear
Essa passagem, de certa forma rápida, pelo estudo das matrizes faz com
que não percebamos quanto é importante a aplicação de matrizes em nosso
dia a dia.
A aplicação a que me refiro trata-se da operação de multiplicação de matrizes.
Vamos, então, relembrar um pouco:
Sejam as matrizes A e B.
A= |
|
B= |
|
Então:
A x B = |
|
ou seja,
A x B = |
|
Lembre-se que:" O Produto de matrizes somente é possível quando o números de colunas da primeira matriz é igual a número de linhas da segunda matriz"
Além disso, valem as propriedades:
Associativa:
(AB)C = A(BC)
Distributiva:
(A+B)C = AC + BC e A(B+C) = AB + AC
Multiplicatica:
k(AB) = (kA)B = A(kB), sendo k um escalar qualquer.
Visto isto, vamos dar alguns exemplos práticos:
Uma doceira preparou 3 tipos diferentes de salgados, usando ingredientes conforme a tabela abaixo:
ovos
farinha
açúcar
carne
Pastéis
3
6
1
3
Empadas
4
4
2
2
Kibes
1
1
1
6
Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo:
Ingredientes
Preço Base(R$)
ovos
0,20
farinha
0,30
açúcar
0,50
carne
0,80
Qual, então, deve ser o preço base de cada salgado?
A multiplicação das duas matrizes nos dará o preço base (custo) de cada salgado. Assim, temos:
3
6
1
3
4
4
2
2
1
1
1
6
x
0,20
0,30
0,50
0,80
=
5,30
4,60
5,80
Então, o preço base (sem prejuízo) de cada salgado deverá ser:
Pastel = R$ 5,30
Empada = R$ 4,60
Kibe = R$5,80
Uma indústria de automóveis produz carros X e Y
nas versões standard, luxo e superluxo. Na montagem desses carros são
utilizadas as peças A, B e C. Para certo plano de montagem são
fornecidas as seguintes tabelas:
Carro X
Carro Y
Peça A
4
3
Peça B
3
5
Peça C
6
2
e
standard
luxo
superluxo
Carro X
2
4
3
Carro Y
3
2
5
Para o planejamento da composição de peças por tipo de carro que matriz deve ser usada?
Com certeza será necessário multiplicar a matriz de peças pela matriz dos tipos de carros. Assim, temos:
4
3
3
5
6
2
x
2
4
3
3
2
5
=
17
22
27
21
22
34
18
28
28
Então, a matriz resultado é a que deve ser usada no planejamento.
Num determinado campeonato obteve-se o seguinte resultado:
Vitória
Empate
Derrota
Time A
2
0
1
Time B
0
1
2
Time C
1
1
1
Time D
1
2
0
Pelo regulamento do referido campeonato vale a seguinte tabela:
Vitória
3 pontos
Empate
1 ponto
Derrota
0 ponto
Qual foi a classificação dos times no final do campeonato ?
Trata-se de mera multiplicação das duas matrizes. Assim, temos:
2
0
1
0
1
2
1
1
1
1
2
0
x
3
1
0
=
6
1
4
5
Então, a classificação seria:
1º - Time A ; 2º - Time D ; 3º - Time C ; 4º - Time B
Sejam as tabelas I, II e III de uma livraria:
Tabela I : Quantidades
Edição Luxo
Edição Bolso
Livro A
76
240
Livro B
50
180
Tabela II : Preço (R$)
Regular
Oferta
Edição Luxo
8,00
6,00
Edição Bolso
2,00
1,00
Tabela III: Valor arrecadado
Regular
Oferta
Livro A
720,00
440,00
Livro B
560,00
340,00
Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os
livros B foram vendidos ao preço de oferta, calcule a quantida
arrecadada pela livraria na venda de todos esses livros.
Ainda, usando a tabela III e a tabela II, calcule a quantidade de livros vendida para a referida arrecadação.
Para a primeira questão vamos calcular a matriz quantidade /preço:
76
240
50
180
x
8
6
2
1
=
1088
696
760
480
Então, como todos os livros A foram vendidos ao preço regular ( R$
1088,00) e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta ( R$
480,00), o valor arrecadado foi de R$ 1.568,00.
Para a segunda questão temos o seguinte modelo para a referida arrecadação:
a
b
c
d
x
8
6
2
1
=
720
440
560
340
Então, multiplicando-se, temos:
8a + 2b = 720 (I)
6a + b = 440 (II)
8c + 2d = 560 (III)
6c + d = 340 (IV)
Resolvendo-se (I) e (II), temos que:
4a = 880 -720 = 160 , logo a = 40 e b = 200
Resolvendo-se (III) e (IV), temos que:
4c = 680-560 = 120, logo c=30 e d=160
Então,neste caso, foram vendidos:
40 livros A (regular) - Edição Luxo
200 livros A (oferta) - Edição Bolso
30 livros B (regular) - Edição Luxo
160 livros B (oferta) - Edição de Bolso
Como se vê, muitos desses exemplos nos mostram que no dia a dia nos deparamos com a aplicação de matrizes e nem percebemos
ovos | farinha | açúcar | carne | |
Pastéis | 3 | 6 | 1 | 3 |
Empadas | 4 | 4 | 2 | 2 |
Kibes | 1 | 1 | 1 | 6 |
Ingredientes | Preço Base(R$) |
ovos | 0,20 |
farinha | 0,30 |
açúcar | 0,50 |
carne | 0,80 |
| x |
| = |
|
Empada = R$ 4,60
Kibe = R$5,80
|
e |
|
|
x |
|
= |
|
Vitória | Empate | Derrota | |
Time A | 2 | 0 | 1 |
Time B | 0 | 1 | 2 |
Time C | 1 | 1 | 1 |
Time D | 1 | 2 | 0 |
Vitória | 3 pontos |
Empate | 1 ponto |
Derrota | 0 ponto |
|
x |
|
= |
|
1º - Time A ; | 2º - Time D ; | 3º - Time C ; | 4º - Time B |
Edição Luxo | Edição Bolso | |
Livro A | 76 | 240 |
Livro B | 50 | 180 |
Regular | Oferta | |
Edição Luxo | 8,00 | 6,00 |
Edição Bolso | 2,00 | 1,00 |
Regular | Oferta | |
Livro A | 720,00 | 440,00 |
Livro B | 560,00 | 340,00 |
|
x |
|
= |
|
|
x |
|
= |
|
6a + b = 440 (II)
8c + 2d = 560 (III)
6c + d = 340 (IV)
200 livros A (oferta) - Edição Bolso
30 livros B (regular) - Edição Luxo
160 livros B (oferta) - Edição de Bolso
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