PROVA DA LEI DOS COSSENOS

Em relação à lei dos cossenos, já fiz o seguinte. Como o teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, temos que a² = b² + c² – 2bc.cos 90º, como o cosseno de 90º é zero, vem que 2bc.cos 90º = 0, daí  conseguimos fazer a seguinte verificação geométrica:

Verificação Geométrica da Lei dos Cossenos

a² = b² + c² – 2bc.cos 90º  , veja para a = 5, b = 4 e c = 3.

Considere o mesmo triângulo retângulo anterior, com essas medidas, um ângulo mede 90º, os outros dois medem aproximadamente 53,13º e 36,87º, a lei dos senos diz que “Em todo triângulo os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles”, então:  5 está para sem 90º, assim com 4 está para sem 53,13º, assim como 3 está para sem 36,87º. Como sen 53,13º = 0,79999... e sen de 36,87º =0,6000014... podemos fazer aproximação para sen 53,13º = 0,8 e sen 36,87º = 0,6, daí aplicando proporcionalidade vem que 5 está para 1, assim como 4 está para 0,8, assim como 3 está para 0,6 →  5/1 = 4/0,8 = 3/0,6 = 5.

Prova Geométrica da Lei dos Cossenos usando Relações Métricas na Circunferência

            Você já viu a prova geométrica da lei dos cossenos, usando relações métricas na circunferência? Veja que interessante:

Prova da Lei dos Cossenos Através das Relações Métricas na Circunferência                                                          

TEOREMA
            Se duas cordas se cortam em um ponto interior da circunferência, então o produto das medidas dos segmentos determinados numa delas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados na outra.

Usando esse teorema, podemos trabalhar da seguinte forma:

(a + c) (a – c) = b(2cosθ – b), resolvendo vem  c² = a² + b² – 2abcosθ