PROVA DA LEI DOS SENOS

As relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente são válidas somente no triângulo retângulo, porém, podemos estabelecer algumas identidades trigonométricas para um triângulo qualquer, sendo ele acutângulo ou obtusângulo. Essas identidades são chamadas de lei dos senos e lei dos cossenos. Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.
Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.

Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.

No triângulo ACH, temos que:

 No triângulo BCH, temos que:

De (I) e (II), obtemos:

Assim, podemos concluir que:

Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.

A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.

Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:

Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:

Sabemos que sen 120^o = sen 60^o. Assim, teremos:

Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x.

Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que: