sábado, 28 de abril de 2012

LISTA DE EXERCÍCIOS GERAIS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA


EXERCÍCIOS  E PROBLEMAS PROPOSTOS
1)    Uma moça possui 5 blusas diferentes e 4 saias diferentes. De quantos modos distintos ela pode se vestir?
Analisando o problema  5 blusas   e 4 saias
5.4= 20 maneiras  diferentes.

2)    Existem 2 estradas que ligam as cidades A e B  e 3 estradas que ligam a cidade B e C . De quantas formas distintas é possível ir da cidade  A até C passando pela cidade B?
Analisando o problema vemos.

A    →E1            B       →     E1             C
        →E2                   →         E 2
                                   →      E  3                      
          Caminhos de Possibilidades a serem percorridos

AC
E1E1
E1E2
E1 E3                                   Analisando  serão 6 possibilidades
E2E1
E2E2
E2 E3

3)    Uma determinada viagem pode ser feita de carro, ônibus ou avião. De quantos modos pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o meio de transporte usado na ida?
Bom  analisando o problema    temos  3 meios de transporte.
Carro
Ônibus
Avião




IDA E  VOLTA
CARRO  - ÔNIBUS
CARRO  - AVIÃO                                   Temos então 6 possibilidades
ÔNIBUS – AVIÃO
ÔNIBUS – CARRO
AVIÃO – ÔNIBUS
AVIÃO – CARRO

4)Em uma prova classificatória para as olimpíadas, 10 atletas disputam os 800 metros . Sabe-se que apenas os 4 primeiros serão Classificados para as provas finais. Quantos resultados possíveis existem para os 4 primeiros lugares?
Bom  analisando o problema  temos 10 atletas e  4 primeiros
Colocando as posições

1º       2º          3º       4º         ≠       1º       2º        3º           4º
João   Mário   José   Paulo       Mário   José    Paulo     João 
Sendo
 A10  4    = 10.9.8.7  =  5040

5)Quantos  são os gabaritos possíveis para uma prova de 10 testes, com 5 alternativas por questão?
Analisando o problema  temos:

Questões 5
Testes  10

Então 5X 5X5X5X5X5X5X5X5X5= 510



6) Dispondo  de 6 cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com 3 listras verticais de cores diferentes.

Analisando o problema

Cores  -   amarelo
                 Azul
                 Verde
                  Vermelho
                  Cinza
                  Rosa

Aqui cabe usar a fórmula de arranjo pois como no problema número 4  importa a ordem como também.

A10   6      =   6.5.4  =   120 possibilidades

7) Uma comissão de uma câmara de vereadores será composta por 1 presidente, 1 secretário, e 1 relator . Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode ser formada essa comissão?
Olha pessoal essa problema é semelhante ao problema 4 dos corredores , pois aqui a ordem importa .
Analisando o problema
18  vereadores
3 componentes
          Comissão
     Presidente    Secretário    Relator         Presidente     Secretário     Relator
       Mário             Jorge            João   ≠      João                  Mário         Jorge
A18  3   =  18.17.16  = 4.896  comissões.


8)Quantos números de telefone com 8 algarismos podemos formar?( Utilize os 10 algarismos do sistema decimal)

Algarismos do sistema decimal    temos  10 algarismos
0      1     2    3   4     5    6   7   8   9 
Como o sistema é decimal temos que utilizar os 10 algarismos. E não se deve começar o número 0 (zero), pois o mesmo na primeira posição não serem 8 números e sim 7  e o problema NÃO  mencionou que os algarismos serão distintos.

P1      P2   P3  P4  P5 P6  P7  P8
9   . 10.10.10.10.10.10.10   =  9 X 107

   9)  Quantos números de telefone com algarismos  e prefixo 3 241 podem ser formados ? (Utilize  os 10 algarismos)
Aqui entrarão os 10 algarismos pois o prefixo é   3241

P1      P2   P3    P4      P5     P6     P7     P8
3        2      4     1       ___   . ___.   ___._____

Então será 

1X1X1X1X10X10X10X10     =   1x 104

10) Com os algarismos  1,2, 3,4,5,6,7,8 e 9

a)     Quantos números naturais  de 4 algarismos podem ser formados?
             UM        C       D     U
9      .    9    .    9   .  9      =   

            9      .    9    .    9   .  9      =   9 4   =  6561  NÚMEROS

R: 6.561   números



B) Quantos números naturais pares de 3 algarismos distintos podem ser escritos
Algarismos      1,2,3,4,5,6,7,8 ,9     
  Números  pares   2,4,6,8 
OBS: A POSIÇÃO DAS UNIDADES SOMENTE TEMOS 4 POSSIBILIDADES.

C       D     U
  8 .   7  .    1    com o algarismo 2,   =56

  8.     7.      1  com o algarismo 4   =56

   8.    7.     1    com o algarismo 6   = 56

   8.    7 ,    1   com  o algarismo 8   =56

Então o total de números   56X4 =  224 números.

11)Calcule  quantas placas  de carro podemos formar dispondo de 26 letras  e 10 algarismos, considerando:
a) com 3 letras e 4 algarismos.
26 letras
10 algarismos
L1   .  L2  .  L3   .   A1 .   A2 .  A3 .  A4
26  .  26.    26.        10 .     10.    10.   10
263    x  10 4

b)    3 letras distintas  e 4 algarismos distintos
         L1    L2   L3       A1   A2   A3   A4
          26.   25.   24.   10. 9.      8.   7
Respostas são 78.624.000 placas

12)Um cofre de segurança possui um disco  com 26 letras do alfabeto e dois numerados de 1 a 9. O segredo do cofre  consiste  em 4 letras distintas, em uma determinada ordem,2 números distintos, também em uma determinada ordem. Considerando que as letras devem sempre anteceder os números, quantos segredos diferentes esse cofre pode ter?
Letras                                        algarismos
26.25.24.23          .                        9. 8   =   25.833.600
R. O cofre pode ter 25.833.600 segredos diferentes.

13) Quantos números naturais de 4 algarismos distintos existem?
Algarismos     0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9       -  10 algarismos
Cabe aqui ressaltar que o algarismo  0  (zero) não pode ocupar a posição P1, pois nessa posição não serão 4 algarismos e sim 3.
P1 .  P2 . P3, P4
9.    9 .   8   .   7   =  4.546  números
Outra maneira
A104        -    A43   =    5040  - 504   = 4.536 maneiras.

14)Quantos números de naturais  pares de 3 algarismos distintos  podem formar com os algarismos  de 0 a 9?
Algarismos  0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9,    -   10 algarismos
Terminam por 0
C     D     U
9.   8  . 1     = 72
Terminam  por 2
C    D   U
8. 8.    1   =64

Terminam por 4
C     D   U
8. 8.    1  =64
Terminam por 6
C   D   U
8 .8. 1    = 64
Terminam por 8
C   D   U
8 . 8 . 1     = 64
Então   4. 64  = 256 
Mais 256  +72 =  328 possibilidades

15) Quantos números naturais  ímpares de  3 algarismos distintos podemos  formar com os algarismos de 0 a 9?

0,1,2,3,4,5,6, 7,8, 9    -   10 ALGARISMOS
NÚMEROS ÍMPARES  são aqueles que terminam por 1,3,7,9
Vamos estudar o caso.
1º) O algarismo das unidades     1, 3,5,7,9   - possibilidades
2º) O algarismo das centenas   há possibilidades pois devemos excluir o
 ( zero)  nas  centenas e o algarismo das unidades
3º ) o algarismos das dezenas há 8 possibilidades , pois devemos excluir os algarismos das centenas e das unidades.
C    D    U
8 .  8 . 5    =   320  NÚMEROS

16) Quantos números inteiros positivos de 4 algarismos distintos nos quais o algarismo 5 sempre figura?

0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9   - 10  algarismos
1º) Considerando o algarismo nas unidades de milhar.
UM     C     D   U
 5  x    9 X  8 X 7  = 
9 x8x 7   =504 números.
2º) Considerando o algarismo 5 nas centenas, retirando o algarismo 0 (zero) das unidades de milhar  e algarismo das x
UM     C    D   U
8  x     5  x 8 X 7
8X8X 7  =  448  números
3º ) Considerando   o algarismo 5 nas dezenas seguindo o raciocínio  2º
UM     C    D    U
8      x  8     5   7
8x8x7=  448 NÚMEROS
4º ) Considerado na casa das unidades  e retirando –se 0 (zero das unidades de milhar
UM   C    D    U
8       8      7     5
8x8X7   =  448
Então   504   +  3X448
                 504  +        1344  =  1.848 números
R.  Há   1.848 números.

17) Quantos números inteiros naturais de 5 algarismos distintos  em maiores que  53.000 existem?

1,2,3,4,5,6,7,8, 9   =    9  -algarismos
1º) Começam por 53
53  . X  .  X  . X  =   onde  x = 8. 7.6   =   336 números
2º ) Começando pelo algarismo 5 
5 X X  X X  =   onde  X = 5.8.7.6  =  1680 números( repare que na segunda casa só 5 possibilidades)  os algarismos 4,6,7,8,9
3º ) Começando por um maior que 5 .
X  X  X  X   X =  4.9.8.7.6  =  12.096   números
Então somando-se todas as possibilidades.
Temos 12.096  + 1.680 +  336   =  14.112 números

18) Quantos números compreendidos entre 2.000   e 7.000 podemos escrever com os algarismos ímpares sem os repetir?

Números  ímpares   1,3,5,7,9    
A5  -  A42   =   5.4.3   -  4.3  =   60   - 12  = 48   números
R. Então teremos 48 números

OBS:  Bibliografia.
1º SMOLE,Kátia Stocco,  & DINIZ , Maria Ignez, - Matemática Ensino Médio, 2º volume
2º IEZZI, Gelson; DOLCE, Oswaldo ; DEGENSZAJN, David;  PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA , Nilze de   , Matemática  - Ciência e Aplicações  -Ensino  Médio , 2º volume
3º DANTE , Matemática – Contexto e Aplicações – Ensino Médio , 2º volume.

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