Exercícios sobre funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
01 - Classifique as funções em injetora, sobrejetora ou bijetora:
a) f: R→R / f(x) = x + 2
b) f: R→R  /  f(x) = x²
c) f: R+→R  /  f(x) = x²

 
Resolução:
a) Bijetora
De R→R toda função do 1º grau é bijetora.

b) Sem classificação
De R→R, qualquer função quadrática não será injetora nem sobrejetora, e consequentemente não pode ser bijetora.

c) Injetora
Cuidado, neste caso, o domínio são os reais positivos, assim não teremos dois domínios resultando a mesma imagem, e sim cada domínio terá uma imagem diferente. Por fim, abaixo do eixo y, não temos nenhum ponto, tudo isso determina a função como injetora nesta definição.    

02 - Classifique os itens a seguir em Verdadeiros ou Falsos.  

I. Se f: A→B é uma função injetora, com A e B finitos então n(B) ≥ n(A), em que n(X) indica o número de elementos do conjunto X.

II. Se f: A→B é uma função sobrejetora, então todo elemento de B é imagem de pelo menos um domínio de A.

III. Toda função real de variável real que é quadrática não é injetora e nem sobrejetora.

Resolução:
I. Verdadeiro

Se a função é injetora, o número de elementos do contradomínio deve ser maior ou igual ao número de elementos do domínio. 

II. Verdadeiro

A afirmação é exatamente a definição da função sobrejetora.

III. Verdadeiro

Sempre analisamos onde a função está definida. De R→R a função do 2º grau será simples, não tem classificação.

Não será injetora pelo fato da função ser uma parábola e assim possuir uma mesma imagem para dois domínios distintos. 

Pra função quadrática ser sobrejetora, depende de onde a função está definida. Neste caso são os reais, então não será sobrejetora pois a parábola tem um ponto máximo ou mínimo, assim sua imagem nunca será igual ao contradomínio, nunca assume todos os valores de y (números reais).

03 - (FMJ-SP) A função f: R→B c R é definida por f(x) = x² - 6x + 5. Se essa função é sobrejetora, B pode ser indicado por:
a) ]-∞, 4[
b) [-5, 1[
c) R - [1, 5]
d) [0, 4]
e) [-4, +∞[

Resolução:
Para que a função seja sobrejetora, seu contradomínio deve ser a própria imagem da função, pois não podemos ter elementos no contradomínio que não sejam imagens de pelo menos um elemento do domínio. Dessa forma, basta encontrar a imagem da função f(x). Como essa função é quadrática, basta calcular a coordenada Y do vértice e observar a concavidade da parábola, como estudado na aula de função do 2º grau.
Yv = - (b² - 4ac)
              4a

Yv = - ((-6)² - 4.1.5) / 4.1
Yv = -16 / 4
Yv = -4

Como a concavidade é voltada para cima, pois a>0, a função possui valores em y maiores que -4, logo, sua imagem que é o contradomínio B pode ser representado como [-4, +∞[

Gabarito Letra: E

4 - (ITA 2013) Considere funções f, g, f + g : R → R. Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,

é (são) verdadeira(s)

A ( ) nenhuma.

B ( ) apenas I e II.

C ( ) apenas I e III.

D ( ) apenas III e IV.

E ( ) todas.

Resolução:

Item I - Falso

Podemos ter a função constante, que não é injetora.

Seja f = x e g = -x (as duas injetoras)

f + g = 0 (função constante)

Item II - Falso

Mesmo motivo do item anterior, a função constante não é sobrejetora.

Seja f = x e g = -x (as duas sobrejetoras)

f + g = 0 (função constante)

Item III - Falso

Seja f = x² + 2x + 1 e g = -x² - x, ambas não injetoras, temos:

f + g = x + 1, que é injetora.

Item IV

Falso,  seja f = x² + x e g = -x² + 1, ambas não sobrejetoras, 

f + g = x + 1, sobrejetora.

Gabarito Letra: A