Exercícios sobre Análise Combinatória

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III     MATEMÁTICA – 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I     COORDENAÇÃO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

LISTA DE EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO - GABARITO

1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

90                            100                       110                              130                                   120

Solução. Cada item do cardápio pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades são: 2 x 4 x 5 x 3 = 120 possibilidades.

 

2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?

60                           120                     240                               40                                     80

Solução. Números com três algarismos distintos quer dizer que uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ela não poderá mais aparecer. No caso há seis algarismos a serem utilizados. As possibilidades são começando das centenas. (poderia iniciar das unidades ou dezenas)

Centenas simples	Dezenas simples	Unidades simples
6 possibilidades	5 possibilidades	4 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (um alg já foi usado)	3ª escolha (dois alg já foram usados)

Logo há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.

3. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?

52                           86                       24                                 32                                      48

Solução. Cada item do vestuário pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem as possibilidades são: 2 x 4 x 6 = 48 possibilidades.

4. No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

20                          60                      120                                 125                                    243

Solução. As vogais podem ser repetidas de forma que as possibilidades podem ser: 5 x 5 x 5 = 125.

5. Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

1 000 000                   2 000 000               3 000 000                   6 000 000                   7 000 000

Solução. A única restrição é que o 1º dígito a esquerda do formado por 7 algarismos seja fixo 2. Como há 10 algarismos de 0 a 9 e podem ser repetidos temos as possibilidades:

2 (fixo)	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9
1 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.	10 possib.

Logo, há 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000.

6. Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

90                            120                                180                                       240                             300

Solução. Se os números são menores que 30000, então com os algarismos envolvidos a dezena de milhar não pode ser 3, 4 ou 5 pois os demais formariam um número maior que o limite informado. A dezena de milhar será, então 1 ou 2.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
2 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo as possibilidades são: 2 x 5 x 4 x 3 x 2 = 240.

7. Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais ?

5⁹                                        9.8⁴                                             8. 9⁴                                                                  8⁵                                                    9⁵

Solução. Esse caso não exige que todos os algarismos sejam diferentes e sim, que os adjacentes o sejam. Isto é. Um algarismo utilizado na ordem das unidades poderá ser utilizado nas centenas, mas não nas dezenas ou unidades de milhar. Os algarismos vão de 0 a 9.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
9 possib.	9 possib.	9possib.	9 possib.	9 possib.
Não inicia por 0	Diferente da 1ª	Diferente da 2ª	Diferente da 3ª	Diferente da 4ª

Logo as possibilidades são: 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 9⁵.

8. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }?

15                                   23                                    28                            39                                    42

Solução. Não foi especificado quantos algarismos deve ter o número. Logo, devemos calcular para os casos de 1, 2 ou 3 algarismo. Nenhum número de 4 algarismo será formado.

a) 1 algarismo: números 1, 2 ou 3. Logo três possibilidades.

b) 2 algarismos: 3 possibilidades para as dezenas e 3 nas unidades. Logo 3 x 3 = 9 possibilidades.

c) 3 algarismos: 3 possibilidades para as centenas, 3 para as dezenas e 3 para as unidades: 3 x 3 x 3 = 27

Logo o total de números menores que 1000 é: 27 + 9 + 3 = 39 casos.

9. A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:

48                               54                              60                                            72                          144

Solução. Essa situação deverá ser dividida em duas situações:

a) O maior número com esses algarismos menor que 4500 é 43751. Com 4 na dezena de milhar:

4 (fixo)	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
1 possib.	2 possib.	3 possib.	2 possib.

b) Com 1 ou 3 nas dezena de milhar:

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
2 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo, há (1 x 2 x 3 x 2) + (2 x 4 x 3 x 2) = 12 + 48 = 60 possibilidades.

10. Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir ?

156                        60                                      6                         12                                         216

Solução. Um número é par se o algarismo das unidades simples for 0, 2, 4, 6 ou 8. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 0, 2 ou 4. Outra restrição é o fato de que a unidade de milhar não pode ser 0. Dividindo em duas situações, temos:

a) A unidade simples é 0.

4ª escolha	3ª escolha	2ª escolha	1ª escolha - 0
2 possib.	3 possib.	4 possib.	1 possib.

b) A unidade simples é 2 ou 4. A unidade de milhar não será 0.

2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	1ª escolha
3 possib.	3 possib.	2 possib.	2 possib.

Logo, há (2 x 3 x 4 x 1) + (3 x 3 x 2 x 2) = 24 + 36 = 60 possibilidades.

11. Sendo A = { 2, 3, 5, 6, 9, 13 } e B = {a^b / a ΠA, b Î A, a ≠  b}, o número de elementos de B que são pares é:

5                               8                                       10                                  12                             13

Solução. Lembrando que o produto entre números ímpares é ímpar e entre números pares é par, a situação será dividida em duas: com a = 2 e a = 6, pois só nesses casos as potências serão pares independente do expoente.

a) a = 2: O conjunto {2³, 2⁵, 2⁶, 2⁹, 2¹³} possui 5 elementos. Repare que não pertence 2².

b) a =6: O conjunto {6², 6³, 6⁵, 6⁹, 6¹³} possui 5 elementos. Repare que não pertence 6⁶.

Logo, há 5 + 5 = 10 possibilidades.

OLha pessoal essa lista é umas boas sugestões para estudo de análise combinatória