Curiosidades sobre Sequências

Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente

Assuntos matemáticos envolvidos:

• Geometria: representação de números através de figuras geométricas;

Os pitagoricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, então elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns números figurados. números triangulares números quadrados números pentagonais Enunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a números figurados, como era feito pelos pitagóricos:

• Teorema I: O número triangular é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.

• Teorema II: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.

Observamos que um número quadrado na sua forma geométrica, pode ser dividido como na figura abaixo. Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o enésimo número triangular , dado pela soma da progressão aritmética, , seja o enésimo número quadrado igual à . Temos

• Teorema III: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1) - ésimo número triangular.

Seja o enésimo número pentagonal, , dado pela soma de uma progressão aritmética.

• Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n.

Calculando a soma da progressão aritmética, temos: que demonstra o teorema.

Alterado em: 21/10/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:

• Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
• Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
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• fonte:<http://www.matematica.br/historia/nfigurados.html> acessado 01/05/13