Exercícios Análise Combinatória

1)De quantas maneiras diferentes podemos dispor, numa mesma prateleira  de uma estante, quatro livros  de matemática, três livros de física e de modo que livros de mesma matéria permaneçam juntos.?

Disposição dos  livros

M₄,M_3,M_2,M₁,F_3,F_2,F₁

4!. 3!=  24.6 =144

Ou

F_3,F_2,F_1,M_4,M_3,M_2,M₁

3!.4!= 144

Obs : Como a pergunta foi utilizado o conectivo e então temos que soma as duas situações.

144+144=288

Fonte: PAIVA, Manoel , Matemática , Vol. Ùnico exercício 8  .

2)Com a palavra MARTELO.

a) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante.

A palavra MARTELO possui 7 letras sem repetição.

                                                     

 P1           P2      P3     P4    P5   P6    P7

A,E,0                   P₅                           M.R,T,L

3. 5.4.3.2.1. 4=  1.440

b)Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante.

Sejam A e B conjuntos de ANAGRAMAS da palavra MARTELO, tais que:

A= { anagramas que começam por VOGAL}

B={anagramas que terminam por CONSOANTE}

A∩B = {anagramas que começam por vogal e terminal por consoante}

AUB= {anagramas que começam por vogal ou terminal por consoante}

Obs: n(AUB)= n(A)+ n(B) – n(A∩B)

1)Começam por vogal

A,E,0    6.5.4.3.2.1

3. P6=  3.6! = 2.160

2)Terminam  M,R,T,L

6.5.4.3.2.1  4

720.4= 2.880

3)n(A∩B)= 1.440

Logo n(AUB)= n(A)+ n(B) – n (A∩B)

                         2.160 +2.880 – 1.440

                          3.600

Fonte: PAIVA, Manoel  R.9 , itens f e g

3) Determine o número de ANAGRAMAS da palavra PAPAGAIO.

A = 3,    P=2

P₈^3,2  =   (8.7.6.5.4.3!) / 3!.2!      = 8.7.6.5.2 =

Fonte:PAIVA, Manoel  - VOL.  Ùnico  - Ensino Médio

4) (FAAP-SP)O setor de emergência de uma unidade do UNICOR possui  três médicos  e oito enfermeiros . A direção deverá formar uma equipe de plantão  construídos de um médico e três enfermeiros. O número total de equipes diferentes.

C₃¹ .C₈³

3.56= 168

Fonte: PAIVA, Manoel  B.8  - Matemática – Vol. Único  - Ensino Mèdio

5) Com os algarismos 0,1,2,3,4,5 , quantos múltiplos positivos de 5, compostos por três algarismos distintos, podemos formar?

Os números que terminam em 0 ou 5

1ª situação  com  o zero na casa das unidades. Vai ser utilizado 1 algarismo casa das unidades  restando 5 algarismos para as centenas e quatro para as dezenas.

C  D  U

5. 4.    1 =  20

2ª situação com o 5 na casa das unidades .Vai ser utilizado

Nesta situação o zero está fora da casa das centenas, pois se for utilizado o número será representado como dezena . Então resta para a centenas simples 4 algarismos e na casa das dezenas o zero pode ser reposto .Nisso, ficará dessa maneira.

C  D  U

4.4. 1   = 16

A resposta será  20 + 16 = 36 números.

Fonte PAIVA, Manoel  - Matemática, Ex. B16   Vol . Ùnico . Ensino Médio

6)Obtenha  a quantidade de números naturais maiores  que 34.000  e de cinco algarismos distintos que podem ser formados pelos algarismos 1,2,3,4, 5, 6

1ªsituação   34      _____     ______   ________

                   Fixo       4.           3              .2      =       24

2ª situação      3        5ou6        _______    _______    ________

                      Fixo

                       1   .   2.               4.                 3   .     2       =              48

3ª situação    4,5 ,6     _____       ______      ______       ______

                        3      .   5          .    4          .       3          .   2   = 360

Soma das situações 1 , 2, 3,

24+48+360 =  432 números

Fonte: PAIVA , Manoel  , Ex. 19  Matemática – Ensino Médio – Vol. Único.

7)(FURG-RS) Manoela decidiu escolher uma senha par seu e-mail trocando  de lugar as letras do seu nome . O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida seja diferente do próprio nome é ?

M A N O E L A       n =7

                                  A = 2

P₇²  =  7!/2!  =  2.520 

OBS. PORÉM UMA SENHA TERÁ O SEU NOME ENTÃO SERÁ  2520-1 = 2519 SENHAS

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática  ex. 75

8) Para ser infectada por certo vírus, uma pessoa pode desencadear 7 sintomas diferentes. Os órgãos públicos definiram que, se um indivíduo apresentasse 4 desses sintomas, seria submetido a tratamento médico preliminar enquanto  os resultados dos exames não estivessem prontos. De quantas maneiras diferentes um indivíduo pode manifestar sintomas suficientes para seja encaminhado a tratamento preliminar?

N=7

Doenças: Dengue , gripe, sinusite, Rinite, pneumonia

Sintomas: febre, vômitos, falta de apetite, sonolência, dor no corpo, dor nos olhos, tosse

C₇⁴  =   7!/(7-4)!.4!   =      35 maneiras

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática ex. 75  vol.2

9) Quantos números compreendidos entre 2.000   e 7.000 podemos escrever com os algarismos ímpares sem os repetir?

Números Ímpares  {1,3,5,7,9}

Temos 5 números ímpares , mas somente podemos utilizar 3 sem os repetir. E o caso de Aranjo

A₅³   -A₄²

  60 -12= 48

Pelo Princípio Fundamental da Contagem temos temos  por  4 casas cada casa é representada pelo parênteses , o nº de casos possíveis dentro  das casas por números:

Nº ímpares 1, 3,5,7,9

[ ]x [ ]x [ ]

Na primeira  temos apenas as opções 3 e 5 , ou seja duas opções

[2] x[  ]x[  ]x [ ]

N a segunda casa temos 4 opções pois um já colocamos na 1ª casa

[2]x[4] x[ ] x [ ]

Na terceira casa temos 3 opções pois 1 já está na 2ª casa

[2] x[ 4]  x [ 3] x [ ]

Na quarta casa temos duas opções

[2] x [ 4 ]  x[ 3] x [ 2]

Então pelo princípio multiplicativo  será 

2x4x3x2 =48

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática ex. 75  vol.2

10)Considerando a palavra MATEMÁTICA determine

a)quantos anagramas possui.

MATEMÁTICA  =  N = 10       M=2      A= 3   T = 2

Obs. P₁₀^2,3,2 =  (10!)/ 2!x3!x2!  =   151.200 anagramas.

b)quantos anagramas começam com a letra A

Obs. P₉^{2,2,2   =} ( 9!)/2!x2!x2!  =  45.360   anagramas.

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática R236  vol.2

11)Com relação ao conjunto A={ a,b,c,d,e,f,g,h},quantos elementos de 3 elementos podem ser formados.

N= 8

Será combinação que não restrição C₈³   = 8!/3!x(8-3)!  = 56

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática R235  vol.2

12) Em certo corredor de um edifício há 25 lâmpadas com interruptores individuais De quantas maneiras  diferentes esse corredor por ser iluminado. Por 16 dessas lâmpadas.

Também é combinação pois não há restrição

C₂₅¹⁶  =  25!/  16! X(25-16)! =   2.042.975 maneiras

Fonte: Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática Ex.58  vol.2

13) (FGV-SP) Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vaga de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n igual a:

C_n-2 ²    =  (n-2)!/2 (n-2-2)!  = 105

(n-2)X(n-3)X (n-4)!/2! X  (n-4)! =   105

n² – 5n +6/2.1   = 105

n²- 5n +6 = 210

n² – 5n  -210+6

n²  - 5n -204= 0       raízes n = 17 e n=-12

R. São 17 vendedores

Fonte: SOUZA, Joamir – Novo Olhar Matemática R.11  vol.2

14) Sobre uma circunferência são indicados 6 pontos distintos.

a)Tendo 3 desses pontos como vértice, quantos triângulos podem ser formar:

C₆³   =6!/3! (6-3)!  = 20

Fonte SOUZA , Joamir  ex.63 Novo Olhar Matemática vol.2 Ensino Médio

15)Considere os fatores primos do número 210. Com o produto  de exatamente três desses fatores primos distintos, quantos números diferentes  podem se compostos.

Primeiro temos que fatorar o 210  será 2x3x5x7

C₄³  =  4!/3! (4-3)!=  4

Fonte SOUZA , Joamir  ex.61 Novo Olhar Matemática vol.2 Ensino Médio