sexta-feira, 25 de abril de 2014

Eventos Equiprováveis

Vamos estudar EVENTOS EQUIPROVÁVEIS , com esse vídeo que é bem ilustrativo.

http://youtu.be/0_PhBIUpD7w

Bons estudos.

sexta-feira, 11 de abril de 2014

Exercícios sobre funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
01 - Classifique as funções em injetora, sobrejetora ou bijetora:
a) f: R→R / f(x) = x + 2
b) f: R→R  /  f(x) = x²
c) f: R+R  /  f(x) = x²

 
Resolução:
a) Bijetora
De R→R toda função do 1º grau é bijetora.

b) Sem classificação
De R→R, qualquer função quadrática não será injetora nem sobrejetora, e consequentemente não pode ser bijetora.

c) Injetora
Cuidado, neste caso, o domínio são os reais positivos, assim não teremos dois domínios resultando a mesma imagem, e sim cada domínio terá uma imagem diferente. Por fim, abaixo do eixo y, não temos nenhum ponto, tudo isso determina a função como injetora nesta definição.    



02 - Classifique os itens a seguir em Verdadeiros ou Falsos.  

I. Se f: A→B é uma função injetora, com A e B finitos então n(B) ≥ n(A), em que n(X) indica o número de elementos do conjunto X.

II. Se f: A→B é uma função sobrejetora, então todo elemento de B é imagem de pelo menos um domínio de A.

III. Toda função real de variável real que é quadrática não é injetora e nem sobrejetora.


Resolução:
I. Verdadeiro
Se a função é injetora, o número de elementos do contradomínio deve ser maior ou igual ao número de elementos do domínio. 


II. Verdadeiro
A afirmação é exatamente a definição da função sobrejetora.


III. Verdadeiro
Sempre analisamos onde a função está definida. De R→R a função do 2º grau será simples, não tem classificação.
Não será injetora pelo fato da função ser uma parábola e assim possuir uma mesma imagem para dois domínios distintos. 
Pra função quadrática ser sobrejetora, depende de onde a função está definida. Neste caso são os reais, então não será sobrejetora pois a parábola tem um ponto máximo ou mínimo, assim sua imagem nunca será igual ao contradomínio, nunca assume todos os valores de y (números reais).



03 - (FMJ-SP) A função f: R→B c R é definida por f(x) = x² - 6x + 5. Se essa função é sobrejetora, B pode ser indicado por:
a) ]-∞, 4[
b) [-5, 1[
c) R - [1, 5]
d) [0, 4]
e) [-4, +∞[

Resolução:
Para que a função seja sobrejetora, seu contradomínio deve ser a própria imagem da função, pois não podemos ter elementos no contradomínio que não sejam imagens de pelo menos um elemento do domínio. Dessa forma, basta encontrar a imagem da função f(x). Como essa função é quadrática, basta calcular a coordenada Y do vértice e observar a concavidade da parábola, como estudado na aula de função do 2º grau.
Yv = - (b² - 4ac)
              4a

Yv = - ((-6)² - 4.1.5) / 4.1
Yv = -16 / 4
Yv = -4

Como a concavidade é voltada para cima, pois a>0, a função possui valores em y maiores que -4, logo, sua imagem que é o contradomínio B pode ser representado como [-4, +∞[

Gabarito Letra: E





4 - (ITA 2013) Considere funções f, g, f + g : R → R. Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora,
é (são) verdadeira(s)

A ( ) nenhuma.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) apenas III e IV.
E ( ) todas.


Resolução:
Item I - Falso
Podemos ter a função constante, que não é injetora.
Seja f = x e g = -x (as duas injetoras)
f + g = 0 (função constante)


Item II - Falso
Mesmo motivo do item anterior, a função constante não é sobrejetora.

Seja f = x e g = -x (as duas sobrejetoras)
f + g = 0 (função constante)



Item III - Falso
Seja f = x² + 2x + 1 e g = -x² - x, ambas não injetoras, temos:
f + g = x + 1, que é injetora.


Item IV
Falso,  seja f = x² + x e g = -x² + 1, ambas não sobrejetoras, 
f + g = x + 1, sobrejetora.


Gabarito Letra: A 

quarta-feira, 9 de abril de 2014

Funções Injetoras,Sobrejetoras e Bijetoras

Depois de conhecermos o conceito de função, estudaremos agora como classificá-las.
Se você não sabe do que se tratam os símbolos D(f), CD(f) e Im(f), convém revisar a simbologia utilizada ao trabalharmos com funções, ela será necessária para uma boa compreensão desta matéria.
Estudaremos os três tipos de função que são: Sobrejetora, injetora e bijetora.

Função Sobrejetora

Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado:
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:

Substituindo a variável independente x, de 3x2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).
Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.

Função Injetora

Vejamos agora este outro diagrama de flechas:
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior.
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:

Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).

Função Bijetora

Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:

Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES